2023年河北专升本考试高等数学(二)(经管、农学类)考试大纲已发布！考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为60分钟，试卷包括选择题、填空题、计算题和应用题。考试主要内容、参考书目、样题等具体信息如下，请考生参考。
一、内容概述与总要求
高等数学考试是为招收理工类、经管类及农学类各专业专升本学生而实施的入学考试。为体现上述不同类别各专业对专升本学生入学应具备的高等数学知识和能力的不同要求，高等数学考试分为高等数学(一)(理工类)考试和高等数学(二)(经管、农学类)考试，每一类考试单独编制试卷。
参加高等数学(二)考试的考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》中行列式、矩阵、线性方程组的基本概念与基本理论；掌握或学会上述各部分的基本方法；注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和抽象思维能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法准确、简捷地进行计算，正确地推理证明；注重数学应用能力的培养，能综合运用所学知识分析并解决较简单的实际问题。高等数学考试从两个层次上对考生进行测试，较高层次的要求为“理解”和“掌握”，较低层次的要求为“了解”和“会”。这里“理解”和“了解”是对概念与理论提出的要求。“掌握”和“会”是对方法、运算能力及应用能力提出的要求。
二、考试形式与试卷结构
考试采用闭卷、笔试形式，全卷满分为100分，考试时间为60分钟。
试卷包括选择题、填空题、计算题和应用题。选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；计算题、应用题均应写出文字说明及演算步骤。
选择题和填空题分值合计为50分。计算题和应用题分值合计为50分。高等数学(二)中《高等数学》与《线性代数》试题的分值比例约为83:17。
一、函数、极限与连续
(一)函数
1.知识范围
函数的概念及表示法分段函数函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性复合函数、反函数、隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题函数关系的建立。
2.考核要求
(1)理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
(2)了解函数的简单性质，会判断函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性。
(3)掌握基本初等函数的性质及其图形。
(4)理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。掌握将一个复合函数分解为基本初等函数或者简单函数的复合方法。
(5)会建立实际问题中的函数关系式并利用函数关系分析和解决较简单的实际问题。
(二)极限
1.知识范围
数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左、右极限极限的四则运算无穷小无穷大无穷小的比较。
两个重要极限
2.考核要求
(1)理解极限的概念(对极限定义中“ε−N”、“ε−δ”、“ε−M”等形式的描述不作要求)，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系。
(2)了解极限的性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小、无穷大以及无穷小的比较(高阶、低阶、同阶和等价)的概念，会应用无穷小与无穷大的关系、有界变量与无穷小的乘积、等价无穷小代换求极限。
(4)掌握利用两个重要极限求极限的方法。
(三)函数的连续性
1.知识范围
函数连续的概念函数的间断点初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(最大值与最小值定理、零点存在定理、介值定理)及其简单应用。
2.考核要求
(1)理解函数连续性概念，会判断分段函数在分段点的连续性。
(2)会求函数的间断点。
(3)了解闭区间上连续函数的性质(最大值与最小值定理、零点存在定理、介值定理)。
(4)了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解函数在一点连续和极限存在的关系，会应用函数的连续性求极限。
(5)会利用连续函数的最大值与最小值定理、零点存在定理及介值定理分析和解决较简单的实际问
题。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.知识范围
导数与微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数与微分的四则运算复合函数、隐函数以及参数方程确定的函数的
微分法高阶导数的概念某些简单函数的n阶导数微分运算法则一阶微分形式不变性边际函数收益函数需求函数供给函数。
2.考核要求
(1)理解导数与微分的概念，理解导数的几何意义和经济意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系，会求分段函数在分段点处的导数。
(2)会求平面曲线的切线方程与法线方程。
(3)掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
(4)会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会使用对数求导法。
(5)了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
(6)掌握微分运算法则及一阶微分形式不变性，了解可微与可导的关系，会求函数的微分。
(7)理解边际函数、收益函数、需求函数和供给函数的意义，会解一些较简单的应用问题。
(二)微分中值定理和导数的应用
1.知识范围
罗尔(Rolle)中值定理拉格朗日(Lagrange)中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判定函数极值及其求法函数最大值、最小值的求法及简单应用函数图形的凹凸性与拐点及其求法。
2.考核要求
(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及其几何意义。
(2)掌握用洛必达法则求0，∞，0⋅∞，∞ − ∞型未定式极限的方法。
0∞
(3)掌握利用导数判定函数单调性及求函数的单调区间的方法。
(4)理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法，掌握函数最大值、最小值的求法及其简单应用，会利用导数解决经济学及管理学中的一些简单应用题。
(5)会判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式第一换元法(即凑微分法)第二换元法分部积分法简单有理函数、简单无理函数及三角函数有理式的积分。
2.考核要求
(1)理解原函数与不定积分的概念。
(2)理解不定积分的基本性质。
(3)掌握不定积分的基本公式。
(4)掌握不定积分的第一换元法、第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)和分部积分法。
(二)定积分
1.知识范围
定积分的概念和性质变上限定积分及其导数牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式定积分的换元法和分部积分法定积分的应用(平面图形的面积，旋转体的体积)无穷区间的广义积分的概念与计算。
2.考核要求
(1)理解定积分的概念，理解定积分的基本性质。
(2)理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。
(3)掌握定积分的换元法和分部积分法。
(4)掌握用定积分求平面图形的面积和简单的封闭平面图形绕坐标轴旋转所成旋转体体积。
(5)了解无穷区间的广义积分的概念，会计算无穷区间的广义积分。
四、多元函数微分学
1.知识范围
多元函数的概念 二元函数的极限与连续的概念 偏导数、全微分的概念 全微分存在的必要条件与充分条件二阶偏导数复合函数、隐函数的求导法多元函数的极值、条件极值的概念二元函数极值存在的充分条件、必要条件 极值的求法。
2.考核要求
(1)理解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义和定义域。了解二元函数极限与连续概念(对计算不作要求)。
(2)理解偏导数的概念，了解全微分的概念和全微分存在的必要条件和充分条件。
(3)掌握二元初等函数的一、二阶偏导数的计算方法，会求全微分。
(4)掌握复合函数一、二阶偏导数的计算方法(含抽象函数)。
(5)掌握由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=z(x,y)的一阶偏导数的求法。
(6)会求二元函数的极值，会求二元函数的最大值、最小值并会解一些简单的应用问题。
五、无穷级数(一)常数项级数1．知识范围
常数项级数收敛、发散的概念收敛级数的和级数收敛的基本性质和必要条件正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法交错级数的莱布尼茨(Leibniz)判别法绝对收敛与条件收敛。
2.考核要求
(1)
理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念。理解级数收敛的必要条件和基本性质。
(2)掌握几何级数∑aqn的敛散性。
n=0
∞1∞1
(3)掌握调和级数∑n与p−级数∑np的敛散性。
n=1n=1
(4)掌握正项级数的比值判别法，会用正项级数的比较判别法。
(5)会用莱布尼茨判别法判定交错级数收敛。
(6)了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛。
(二)幂级数
1.知识范围
幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域幂级数在收敛区间内的基本性质函数ex，ln(1+x)，
1
1−x
的马克劳林(Maclaurin)展开式。
2.考核要求
(1)了解幂级数的概念。
(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(连续性，逐项求导与逐项积分)。
(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛域的方法(包括端点处的收敛性)。
(4)会运用ex，ln(1+x)，1
1−x
的马克劳林展开式，将一些简单的初等函数展开为x或(x−x0)的
幂级数。
六、常微分方程
(一)微分方程基本概念
1.知识范围
常微分方程的概念微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。2．考核要求
(1)了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。
(2)会验证常微分方程的解、通解和特解。
(3)会建立一些微分方程，解决简单的应用问题。
(二)一阶微分方程
1.知识范围
一阶可分离变量微分方程一阶线性微分方程。2．考核要求
(1)掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
(2)会用公式法解一阶线性微分方程。
七、线性代数
(一)行列式
1.知识范围
行列式的概念余子式和代数余子式行列式的性质行列式按一行(列)展开定理克莱姆(Cramer)法则及推论。
2.考核要求
(1)了解行列式的定义，理解行列式的性质。
(2)理解行列式按一行(列)展开定理。
(3)掌握计算行列式的基本方法。
(4)会用克莱姆法则及推论解线性方程组。
(二)矩阵
1.知识范围
矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法矩阵的转置单位矩阵对角矩阵三角形矩阵方阵的行列式方阵乘积的行列式逆矩阵的概念矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换矩阵的秩 初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵。
2.考核要求
(1)了解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵和三角形矩阵。
(2)掌握矩阵的线性运算、乘法和矩阵的转置。
(3)会用伴随矩阵法求二、三阶方阵的逆矩阵。
(4)理解矩阵秩的概念，会用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵，会解简单的矩阵方程。
(三)线性方程组
1.知识范围
向量的概念向量组的线性相关与线性无关向量组的极大无关组向量组的秩与矩阵的秩的关系齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解 用初等行变换求解线性方程组的方法。
2.考核要求
(1)理解n维向量的概念，理解向量组线性相关与线性无关的定义，了解向量组的极大无关组和向量组的秩的概念。
(2)了解判别向量组的线性相关性的方法。
(3)会求齐次线性方程组的基础解系，会求齐次线性方程组和非齐次线性方程组的一般解和通解。
(4)会建立线性方程组，解决简单的应用问题。
Ⅲ.模拟试卷及答案
河北省普通高等学校专升本考试
高等数学(二)(经管、农学类)模拟试卷1
(考试时间：60分钟)(满分：100分)
说明：请在答题纸的相应位置上作答，在其它位置上作答的无效。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填涂在答题纸的相应位置上，填涂在其它位置上无效)
1.
设函数f(x)=⎧1,|x|≤1，则f[f(x)]=().
⎩
⎧1,|x|≤1
A．0B.1C.
⎩0,|x|>1
⎧0,|x|≤1
D.⎨1,|x|>1
2.已知f(x)=
1，则函数f(x)的第一类间断点是().
A.
x=1
1−e1−x
B.x=0
C.x=−1
D.x=2
3.曲线y=ex上哪一点的切线平行于y=2x−3().
A.(1,ln2)B.(2,ln2)C．(ln2,1)D．(ln2,2)
⎧x=a(t−sint)
4.
设⎨y=a(1−cost)
dy
，则π=().
t=
2
A.2B.−2
C.1D.−1
5.下列表达式中正确的是().
A.(∫f(x)dx)′=
f′(x)
B.d∫f(x)dx=
f(x)
C.∫f′(x)dx=
f(x)+C
D.∫df(x)=
f(x)
6.若∫te3xdx=7，则t=().
03
A.2B.ln2C.1D.1ln2
2
7.
设f(x,y)=ln⎛y⎞
⎝⎠
，则fx′(2,1)=().
A.1B.−1
C.−1D.1
22
8.级数∑10nxn的收敛域为().
n=0
A.⎛−1,1⎞
B.⎛0,1⎞
C.⎛−1,0⎞
D.⎡−1,1⎤
⎜1010⎟
⎜10⎟
⎜10⎟
⎢⎣1010⎥⎦
9.
微分方程xy′+y=sinx的通解是().
A.y=1(sinx+C)
x
C.y=1(cosx+C)
x
B.y=1(−cosx+C)
x
D.y=1(−sinx+C)
x
10.设向量组a1，a2，a3，，an线性相关，则().A.向量组中存在某一向量可由其它向量线性表示
B.向量组中只有一个向量可由其它向量线性表示C.向量组中任意一个向量可由其它向量线性表示
D.向量组中任意一个向量都不可由其它向量线性表示
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置无效)
11.
limtanx(1−cosx)=.
x→0
xsin2x
1
12.已知f(x)=
cos2x+ex
，则f′(x)
=.
13.函数z=ln(x+y)的定义域为.
⎛11t⎞
14.已知矩阵A=⎜t10⎟，且齐次线性方程组Ax=O有非零解，则t=.
⎜⎟
⎜001⎟
∞1
15.
级数∑(5n−4)(5n+1)=.
三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分.将解答的主要过程、步骤和答案填写在答题纸的相应位置上， 写在其它位置上无效)
1
16.求e
0
xdx的值.
17.
⎛200⎞
A=⎜120⎟，矩阵A满足方程AX=A+X，求矩阵X.
⎜112⎟
v2∂z∂z
18.设z=u,u=sinx+y,v=xlny，求∂x和∂y.
19.解方程dy=ex−y+x2e−y,
dx
y|x=0
=0.
四．应用题(本题10分；将解答的主要过程、步骤和答案填写在答题纸的相应位置上，写在其它位置上无效.)
20.某旅行社举办风景区旅行团，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多一人，飞机票每张收费减少10元，直至每张飞机票收费降到450元为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.问：每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润为多少？
高等数学(二)(经管、农学类)模拟试卷1参考答案和评分标准
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。选对得3分，选错、未选或多选得0分)
1．B2．A3．D4.C5.C6．B7.C8．A9.B10.A
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.填对得4分，未填或填错得0分)
1
11.
2
12.
−sin2x−1excos2xx2
13.{(x,y)|x+y≥1}
14.115.1
5
三、计算题(本大题共4小题，每小10分，共40分。解答过程、步骤和答案必须完整、正确)
16.解：令x=t，则x=t2
........................................................................................1分
原式= 1 etdt 2 = 1 2tetdt
00
.................................................................................3分
= 2 1 tdet
0
.......................................................................................................6分
=2e−2et|1=2
..............................................................................................10分
17.解：由AX=A+X得(A−I)X=A
⎛200⎞⎛100⎞⎛100⎞
A−I=⎜120⎟−⎜010⎟=⎜110⎟
⎜112⎟⎜001⎟⎜111⎟
.........................................................3分
|A−I|=1≠0,所以A−I可逆......................................................................................5分
由AX=A+X得(A−I)X=A，即
⎛100⎞⎛200⎞⎛200⎞
X=(A−I)−1A=⎜−110⎟⎜120⎟=⎜−120⎟.........................................10分
⎜0−11⎟⎜112⎟⎜0−12⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
18.解：∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=vuv−1cosx+uvlnulny
............................................3分
∂x∂u∂x∂v∂x
=xlnycosx(sinx+y2)xlny−1+(sinx+y2)xlnyln(sinx+y2)lny
....................5分
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v=vuv−12y+uvlnux
..................................................7分
∂y∂u∂y∂v∂yy
=2xylny(sinx+y2)xlny−1+(sinx+y2)xlnyln(sinx+2x
.........................10分
19.解：方程可以改写为
dy=e−y(ex+x2)dx
y).
y
即eydy=(ex+x2)dx
.............................................................................................4分
两边积分得
ey=ex+1x3+C
3
以条件y|x=0=0代入，得1=1+C，即C=0..............................................................6分
于是所求特解为
ey=ex+1x3，
3
|
⎛ |
即y=ln⎜ex
+1x
3
3⎞.....................................................................................................10分
|
⎟ |
⎝⎠
四、应用题(本题10分。解答过程、步骤和答案必须完整、正确)
20.解：设x表示每团人数，p表示飞机票的价格，因(900-450)÷10=45，所以每团
人数最多为30+45=75人，飞机票的价格为
|
⎨ |
p=⎧
900,1≤x≤30
..........................................................2分
⎩900−10(x−30),30<x≤75
旅行社的利润函数为
L=L(x)=xp−15000
|
= |
⎧900x−15000,1≤x≤30
⎨
⎩900x−10x(x−30)−15000,30<x≤75
|
= |
⎧900x−15000,1≤x≤30
⎨2
...............................................4分
⎩1200x−10x−15000,30<x≤75
|
⎨ |
因为L′(x)=⎧
900,1≤x<30
.........................................................................6分
⎩1200−20x,30<x≤75
显然，当L′(x)=0时，有x=60,又30<x<60时，L(x)>0，
当60<x≤75时，L(x)<0.所以，当x=60人时，利润函数取最大值，即每团60人时，旅行社可
获得最大利润， 最大利润为
L(60)=(1200x−10x2−15000)|
x=60=21000.....................................................10分
河北省普通高等学校专升本考试
高等数学(二)(经管、农学类)模拟试卷2
(考试时间：60分钟)(满分：100分)
说明：请在答题纸的相应位置上作答，在其它位置上作答的无效。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个备选项中，选出一个正确的答案，并将所选项前的字母填涂在答题纸的相应位置上，填涂在其它位置上无效)
1.f(x)=|xsinx|ecosx(−∞<x<+∞)是().
A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数
⎧⎪ln(x+1)+1,
2.已知函数f(x)=⎨ex
x<0
是(−∞,+∞)上的连续函数，则a=().
⎪⎩tanx+a,
x≥0
A.-1B.0C.1D.2
3.已知F(x)=arctanx是f(x)=
1
1+x2
的一个原函数，则().
A.∫f(x)dx=arctanxB.∫f(x)dx=arctanx+C
C.∫
f′(x)dx=arctanx
D.F′(x)=
1+C
1+x2
4.d1+x2=（）.
A.1+x2dx
B.2xdx1+x2
C.xdx1+x2
D.2x
1+x2dx
5.函数y=x3−3x2+2的极小值点是().
A.-2B.0C.2D.3
6.如果limf(x)=∞,limg(x)=∞，则下列极限成立的是().
x→ax→a
A.lim[f(x)+g(x)]=∞B.lim[f(x)−g(x)]=0
x→a
C.lim1=0
x→af(x)+g(x)
x→a
D.lim1=0
x→af(x)
7.
|
∂ |
设z=2ucosv,u=xy,v=x+y,则∂z=（）.
x
A.ln2⋅2xyysin(x+y)B.2xy[ln2⋅ysin(x+y)−cos(x+y)]
C.−ln2⋅2xyysin(x+y)D.2xy[ln2⋅ycos(x+y)−sin(x+y)]
8.微分方程y′+1y=1的通解是y=().
xx(x2+1)
A.1(arctanx+C)
x
B.arctanx+C
C.1(arctanx+C)2x
D.arctanx+1+C
2x
9.矩阵A可逆的充要条件是().
A.|A|=0
B.|A|≠0
C.A=0
D.A≠0
10.下列级数中，绝对收敛的是().
A.
|
∞ |
|
∑ |
(−1)n1
n=1n
B.(−1)n1
|
∞ |
|
∑ |
n=1n
C.∑(−1)
n=1
nn
n+1
D.∑(−1)
n=1
n1
4
n3
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。将答案填写在答题纸的相应位置上，填写在其它位置无效)
11.已知y=y(x)是由方程xy+lny=1所确定的隐函数，则dx
dy
=.
⎛sin2x1+x3⎞
12.
|
⎜ |
lim
x→+∞⎝x
+2x3
⎟=.
⎠
|
∫π |
π
13.说明定积分4sinxdx的几何意义,并求其值.
−
4
⎛−123⎞
14.设A=⎜0−12⎟，则(A*)−1=.
⎜⎟
⎜00−1⎟
⎝⎠
15.幂级数∑(−1)
n=1
n−1xn
n
的收敛域是.
三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分。将解答过程、步骤和答案填写在答题纸的相应位置上，写在其它位置上无效)
16.
|
∫ |
求+∞xe−x2dx.
0
17.设函数f(x,y)=x2+mxy+nx2y3在点(−1,1)处取得极值,求常数m,n的值.
⎧x1+2x2+3x3−x4=0
⎪
18.求方程组⎨2x1+4x2+5x3−3x4= −1的通解.
⎪−x−2x−3x+3x=8
⎩1234
19.解微分方程cosydx+(1+e−x)sinydy=0，求满足初始条件y(0)=π的特解.
4
四、应用题(本题10分。将解答的过程、步骤和答案填写在答题纸的相应位置上，写在其它位置上无效)
20.某企业生产的某产品固定成本为500万元,每生产1吨需增加费用50万元.该产品的市场需求量为Q=1100−10P(P为价格) ,产销平衡.求边际利润函数(在经济领域中称函数的导数为边际函数,其含义是自变量改变一个单位时,函数的改变量) ,并求产量为多少时利润最大？
高等数学(二)(经管、农学类)模拟试卷2参考答案和评分标准
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。选对得3分，选错、未选或多选得0分)
1．B2．C3．B4.C5.C
6．D7.D8．A9.B10.D
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分。 填对得4分，未填或填错得0分)
x+1
|
⎝⎠ |
y⎛x1⎞
11.−
y
1
12..
2
=−⎜y+y2⎟.
13.表示曲线y=sinx与直线x= ±π
4
及x轴围成在x轴上方图形面积与x轴下方图形面积
之差，其值为0.
⎛1−2
−3⎞
14.(A*)−1=⎜01−2⎟.
⎜⎟
|
⎝⎠ |
⎜001⎟
15.(−1,1].
三、计算题(本大题共4小题，每小10分，共40分。解答过程、步骤和答案必须完整、正确)
16.解：∫+∞xe−x2dx= −1∫+∞e−x2d(−x2)
...................................................................4分
020
=−1e−x2+∞
20........................................................................................................................................................6分
= −1(lime−x2−e0).......................................................................................8分
2x→+∞
=1.................................................................................................................10分
2
17.解:由于f(x,y)在(-1,1)处取得极值,且偏导数存在,由取极值的必要性得
⎧∂f
⎪∂x
=2x+my+2nxy3
|
∂f |
⎨
⎪____=mx+3nx2y2
从而有............................................................................4分
⎪⎩∂y
|
⎨ |
⎧fx′(−1,1)=−2+m−2n=0
⎩fy′(−1,1)=−m+3n=0
⎧−2+m−2n=0
..............................................................................6分
|
⎩ |
即⎨−m+3n=0
⎧n=2
|
⎩ |
解得⎨m=6............................................................................................................10分
18.解:写出方程组的增广矩阵，用初等变换化为简化阶梯阵
⎛123
−10⎞⎛123−10⎞
(Ab)=⎜245−3−1⎟→⎜00−1−1−1⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜−1−2−338⎟⎜00028⎟
⎝⎠⎝⎠
⎛123−10⎞⎛12304⎞⎛120013⎞
→⎜00111⎟→⎜0010−3⎟→⎜0010−3⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
|
⎝⎠⎝⎠⎝⎠ |
⎜00014⎟⎜00014⎟⎜00014⎟
⎧x1=13−2x2
⎪
得方程组的一般解为⎨
⎪
⎩
x3=−3
x4=4
，x2为自由元....................................................5分
令x=0得方程组的一个特解v
⎛13⎞
|
0 |
⎜⎟
=⎜⎟.....................................................................6分
20⎜−3⎟
|
4 |
⎜⎟
⎝⎠
⎧x1=−2x2
⎪
原方程组的导出组的一般解为⎨
⎪
⎩
x3=0
x4=0
，x2为自由元.
⎛−2⎞
⎜1⎟
令x=1得导出组的一个基础解系为v=⎜⎟，............................................................8分
2⎜0⎟
|
0 |
⎜⎟
⎝⎠
故方程组的通解为x=v0+Cv，C为任意常数.........................................................10分
19.解:该方程为可分离变量微分方程.
分离变量得−sinydy=
cosy
1dx
1+e−x
两端积分
−sinydy=
|
∫ |
cosy
1dx1+e
..................................................................2分
|
∫−x |
|
∫ |
|
∫x |
1dcosy=
cosy
1d(1+ex) 1+e
.....................................................................4分
方程的通解为cosy=C(1+ex)............................................................................6分
由初始条件y(0)=π，得C=2
44
....................................................................8分
得方程的特解为cosy=
2(1+ex)，即y=arccos⎡2(1+ex)⎤.......................10分
4⎢4⎥
⎣⎦
四、应用题(本题10分。将解答的过程、步骤和答案填写在答题纸的相应位置上，写在其它位置上无
效)
20.解：由于
P=110−，
|
Q |
10
Q2
总收入为总成本为
R=PQ=110Q−，............................................................................2分
10
C=500+50Q，......................................................................................4分
Q2
故总利润函数为L=R−C=60Q−.....−500，........................................................6分
10
求导得边际利润函数为
L′=60−Q，......................................................................8分
5
令L′=0，解得驻点Q=300
根据实际问题知,L存在最大值,且Q=300(吨)是利润函数L唯一驻点,故当产量为300吨时利润
最大，利润最大值为
Lmax=8500万元................................................................................10分
